По описанию похоже, что вы имеете дело с обычными возрастными особенностями грудного вскармливания, а не с патологией. В 3 месяца дети уже умеют высасывать нужный объём молока значительно быстрее, чем в первые недели жизни, поэтому 10 минут у груди — это нормальная продолжительность кормления для этого возраста, а не признак того, что малышу не хватает молока.
То, что вы описываете как «игру» — отвлечение, кручение головой, покусывание, сосание рук — тоже вписывается в нормальное поведение у груди на этом этапе: ребёнок становится более любопытным, реагирует на звуки и свет, учится управлять языком и губами. Сосание кулачков само по себе не всегда означает голод, это может быть и успокаивающий рефлекс, и способ познания мира.
Прибавка 500 г за месяц при росте на 3 см в целом укладывается в нормальные показатели для этого возраста, особенно если учесть, что после рождения все дети немного теряют вес, а затем восстанавливают его. Дети растут не равномерно, а скачками, и периоды активного роста в длину не всегда сопровождаются такой же выраженной прибавкой массы. Если педиатр не увидела угрожающих отклонений по кривым роста, дополнительных оснований для тревоги пока нет — важно продолжать регулярно взвешивать и измерять ребёнка, чтобы отслеживать динамику.